Ecuaciones Diferenciales

4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:
$\begin{cases} \cfrac{dx_1}{dt} = F_1(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \cfrac{dx_2}{dt} = F_2(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \ldots \\ \cfrac{dx_n}{dt} = F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n;t) \end{cases}$
Reducción a un sistema de primer orden
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

$F_i\left(x_j,\frac{dx_j}{dt},\ldots,\frac{d^nx_i}{dt^n};t\right) =0 \qquad \mbox{con}\ i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas x_i y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables y_i,k definidos de la siguiente manera:

$y_{i,k}(t) := \frac{d^k x_i(t)}{dt^k}$

El sistema de primer orden equivalente en las variables y_i,k resulta ser:

$\begin{cases} y_{i,k+1} = \cfrac{dy_{i,k}}{dt} & k\in\{0,2,\ldots,n-1\}\\ F_i\left(y_{j,0},y_{j,1},\ldots,y_{j,n};t\right) =0 & i,j\in\{1,2,\ldots,m\} \end{cases}$

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

$\begin{cases} m\cfrac{d^2x}{dt^2} = F_x\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right)\\ m\cfrac{d^2y}{dt^2} = F_y\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right)\\ m\cfrac{d^2z}{dt^2} = F_z\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right) \end{cases}$

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

$\begin{cases} m\cfrac{dx}{dt} = v_x(t), & m\cfrac{dv_x}{dt} = F_x\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right)\\ m\cfrac{dy}{dt} = v_y(t), & m\cfrac{dv_y}{dt} = F_y\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right)\\ m\cfrac{dz}{dt} = v_z(t), & m\cfrac{dv_z}{dt} = F_z\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right) \end{cases}$

4.1 TEORIA PRELIMINAR

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacióndiferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O como su forma implícita:

4.1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1^er orden:

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

donde:

y su derivada

4.1.2 SISTEMA DE ECUCION LINEAL HOMOGÉNEO

En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema x' = A·x donde A es una matriz n x n. Por analogía a las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una solución de la forma donde el vector a y el escalar r son constantes a determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

como no es cero, se obtiene que o (A-r·I)·a = 0 donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por tanto el vector solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

4.1.3 SOLUCION GENERAL Y SOLUCION PARTICULAR

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general. Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.

4.2 METODOS DE SOLUCIONES

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

4.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES

Un operador es un objeto matematico que convierte una funcion en otra, por ejemplo, el operador

derivada convierte una funcion en una funcion diferente llamada la funcion derivada. Podemos

denir el operador derivada D que al actuar sobre una funcion diferenciable produce la derivada

de esta, esto es: D0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) : Es posible construir la siguiente combinacion lineal con los operadores diferenciales: P(D) = a0 + a1D + a2D2 + _ _ _ + anDn ; an 6= 0 : (1) donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial

de orden n.La utilidad de este objeto matematico quedara clara si hacemos la siguiente definicion

P(D)y 􀀀 anDn + an􀀀1Dn􀀀1 + _ _ _ + a2D2 + a1D + a0 y = anDny + an􀀀1Dn􀀀1y + _ _ _ + a2D2y + a1Dy + a0y

= any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y (2)Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacion de la forma any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3) por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como P(D)y = Q(x) : (4)

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades Si f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones P(D) [_f1(x) + _f2(x)] = _P(D)f1(x) + _P(D)f2(x)donde y son constantes. Ademas: Si y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la ecuacion diferencial homogenea P(D)y = 0entonces yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + _ _ _ + Cnyn(x) es tambien una solucion. Si yh(x) es una solucion de P(D)y = 0 y yp(x) es una soluci_on de P(D)y = Q(x) entonces y(x) = yh(x) + yp(x) es una solucion de P(D)y = Q(x).

Si yp1(x); yp2(x); : : : ; ypn(x) son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones P(D)y = Q1(x); P(D)y = Q2(x); : : : ; P(D)y = Qn(x) resulta entoneces que P(D) [yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x)] = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x) implica que yp(x) = yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x) es una soluci_on deP(D)y = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x)

miércoles, 27 de junio de 2012