4.1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1^er orden:

 

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

donde:

y su derivada

y

4.1.2 SISTEMA DE ECUCION LINEAL HOMOGÉNEO

En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema x' = A·x donde A es una matriz n x n. Por analogía a las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una solución de la forma  donde el vector a y el escalar r son constantes a determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

 como no es cero, se obtiene que  o (A-r·I)·a = 0 donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por tanto el vector  solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

4.1.3 SOLUCION GENERAL Y SOLUCION PARTICULAR

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general. Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.

4.2 METODOS DE SOLUCIONES

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

4.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES

Un operador es un objeto matematico que convierte una funcion en otra, por ejemplo, el operador

derivada convierte una funcion en una funcion diferente llamada la funcion derivada. Podemos

denir el operador derivada D que al actuar sobre una funcion diferenciable produce la derivada

de esta, esto es: D0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) : Es posible construir la siguiente combinacion lineal con los operadores diferenciales: P(D) = a0 + a1D + a2D2 + _ _ _ + anDn ; an 6= 0 : (1) donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial

de orden n.La utilidad de este objeto matematico quedara clara si hacemos la siguiente definicion

P(D)y 􀀀 anDn + an􀀀1Dn􀀀1 + _ _ _ + a2D2 + a1D + a0 y = anDny + an􀀀1Dn􀀀1y + _ _ _ + a2D2y + a1Dy + a0y

= any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y (2)Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacion de la forma any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3) por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como P(D)y = Q(x) : (4)

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades Si f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones P(D) [_f1(x) + _f2(x)] = _P(D)f1(x) + _P(D)f2(x)donde  y  son constantes. Ademas: Si y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la ecuacion diferencial homogenea P(D)y = 0entonces yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + _ _ _ + Cnyn(x) es tambien una solucion. Si yh(x) es una solucion de P(D)y = 0 y yp(x) es una soluci_on de P(D)y = Q(x) entonces y(x) = yh(x) + yp(x) es una solucion de P(D)y = Q(x).

Si yp1(x); yp2(x); : : : ; ypn(x) son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones P(D)y = Q1(x); P(D)y = Q2(x); : : : ; P(D)y = Qn(x) resulta entoneces que P(D) [yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x)] = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x) implica que yp(x) = yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x) es una soluci_on deP(D)y = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x)

4.2.2TRANFORMADA DE LAPLACE

Sea f : [0,+∞) → C una función localmente integrable, esto es, existe la integral de Riemann de f en todo intervalo compacto [0, a] ⊂ [0,+∞). Se define la Transformada de 6 Transformada de Laplace

Laplace de f en z ∈ C como L[f](z) =Z +∞0e−ztf(t)dt, siempre que tal integral impropia exista. Como el alumno debe conocer, la convergencia dela integral Z +∞0 |e−ztf(t)|dt implica la convergencia de la integral . Denotaremos por Df el dominio de L[f], es decir, el subconjunto del plano complejo donde la expresión  tiene sentido. A continuación vamos a ver ejemplos de Transformadas de Laplace de algunas funcioneselementales. • Función de Heaviside. Sea a ≥ 0 y consideremos la función de Heaviside ha definida anteriormente. Entonces para todo z ∈ C tal que Rez > 0 se verifica L[ha](z) =Z +∞0e−ztha(t)dt =Z +∞ae−ztdt= limx→+∞Z xae−ztdt = limx→+∞μe−zaz −e−zxz¶=e−za z.

En particular, cuando a = 0 obtenemos L[h0](z) =1z. • Función exponencial. Sea ω ∈ C y consideremos la función exponencial f(t) = eωt. Se verifica entonces para todo z ∈ C tal que Rez > Re ωL[f](z) =Z +∞0e−zteωtdt =Z +∞0e−(z−ω)tdt= limx→+∞Z x0e−(z−ω)tdt = limx→+∞μ1z − ω −e−(z−ω)xz − ω¶=1z − ω.

En particular, si ω = 0 se verifica que f(t) = 1, con lo que nuevamenteL[ha](z) =1z para todo z ∈ C tal que Rez > 0. • Potencias. Sea n un número natural y consideremos la función fn(t) = tn. Vamos ver que la Transformada de Laplace de fn viene dada por la expresió L[fn](z) =n!zn+1 para todo z ∈ C tal que Rez > 0.7

Linealidad

Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones. Teorema 2 Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica que L[af + bg](z) = aL[f](z) + bL[g](z). La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos L[af + bg](z) = Z +∞ 0 e−zt(af(t) + bg(t))dt = lim x→+∞Z x0e−zt(af(t) + bg(t))dt= a limx→+∞Z x0e−ztf(t)dt + b lim x→+∞ Z x0e−ztg(t)dt = aL[f](z) + bL[g](z), lo que concluye la prueba. A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos. • Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = sin(ωt) = eiωt − e−iωt 2i. Entonces L[f](z) =12i¡ L[eitω](z) − L[e−itω](z) ¢=12iμ1z − iω −1z + iω¶=ωz2 + ω2

siempre que Rez > 0. • Función coseno. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = cos(ωt) = eiωt + e−iωt 2. De forma análoga a la anterior se obtiene que L[f](z) =z z2 + ω2 siempre que Re z > 0.10

Transformada de Laplace • Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = sinh(ωt) =eωt − e−ωt2.Entonces L[f](z) =12¡ L[eωt](z) − L[e−ωt](z)¢=12μ1z − ω −1z + ω¶=ωz2 − ω2 si Re z > |ω|. • Función coseno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = cosh(ωt) =eωt + e−ωt2.De forma análoga a la anterior se obtiene que L[f](z) =z z2 − ω2

4.2.3 APLICACIONES

Aplicaciones en la geometría

La pendiente en cualquier punto de una curva es 2x+3y. Si la curva pasa por el origen, determine su ecuación. Formulación matemática: la pendiente en (x,y)es de dy/dx. Luego

Es la ecuación diferencial requerida, la cual se resuelve sujeta y(0)=0. Solución. La ecuación:

Escrita como una ecuación lineal de primer orden: