En matematicas segun el teorema de Cauchy-Hadamard el radio de converencia de una serie de la forma 
con
, viene dado por la expresión
, viene dado por la expresión 
DEFINICIÓN:
Si nos limitamos de los números reales, una serie de la forma con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0.La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.
con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0.La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.EJEMPLOS:
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
RADIO DE CONVERGENCIA FINITO
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r= raiz cuadrada de 2/2.
Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.
RADIO DE CONVERGENCIA INFINITO
Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergncia sera infinito
Esta informacion fue encontrada en la siguiente pagina
CIBERGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia
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