4.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES

Un operador es un objeto matematico que convierte una funcion en otra, por ejemplo, el operador

derivada convierte una funcion en una funcion diferente llamada la funcion derivada. Podemos

denir el operador derivada D que al actuar sobre una funcion diferenciable produce la derivada

de esta, esto es: D0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) : Es posible construir la siguiente combinacion lineal con los operadores diferenciales: P(D) = a0 + a1D + a2D2 + _ _ _ + anDn ; an 6= 0 : (1) donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial

de orden n.La utilidad de este objeto matematico quedara clara si hacemos la siguiente definicion

P(D)y 􀀀 anDn + an􀀀1Dn􀀀1 + _ _ _ + a2D2 + a1D + a0 y = anDny + an􀀀1Dn􀀀1y + _ _ _ + a2D2y + a1Dy + a0y

= any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y (2)Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacion de la forma any(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3) por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como P(D)y = Q(x) : (4)

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades Si f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones P(D) [_f1(x) + _f2(x)] = _P(D)f1(x) + _P(D)f2(x)donde  y  son constantes. Ademas: Si y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la ecuacion diferencial homogenea P(D)y = 0entonces yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + _ _ _ + Cnyn(x) es tambien una solucion. Si yh(x) es una solucion de P(D)y = 0 y yp(x) es una soluci_on de P(D)y = Q(x) entonces y(x) = yh(x) + yp(x) es una solucion de P(D)y = Q(x).

Si yp1(x); yp2(x); : : : ; ypn(x) son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones P(D)y = Q1(x); P(D)y = Q2(x); : : : ; P(D)y = Qn(x) resulta entoneces que P(D) [yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x)] = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x) implica que yp(x) = yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x) es una soluci_on deP(D)y = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x)