4.2.2TRANFORMADA DE LAPLACE

Sea f : [0,+∞) → C una función localmente integrable, esto es, existe la integral de Riemann de f en todo intervalo compacto [0, a] ⊂ [0,+∞). Se define la Transformada de 6 Transformada de Laplace

Laplace de f en z ∈ C como L[f](z) =Z +∞0e−ztf(t)dt, siempre que tal integral impropia exista. Como el alumno debe conocer, la convergencia dela integral Z +∞0 |e−ztf(t)|dt implica la convergencia de la integral . Denotaremos por Df el dominio de L[f], es decir, el subconjunto del plano complejo donde la expresión  tiene sentido. A continuación vamos a ver ejemplos de Transformadas de Laplace de algunas funcioneselementales. • Función de Heaviside. Sea a ≥ 0 y consideremos la función de Heaviside ha definida anteriormente. Entonces para todo z ∈ C tal que Rez > 0 se verifica L[ha](z) =Z +∞0e−ztha(t)dt =Z +∞ae−ztdt= limx→+∞Z xae−ztdt = limx→+∞μe−zaz −e−zxz¶=e−za z.

En particular, cuando a = 0 obtenemos L[h0](z) =1z. • Función exponencial. Sea ω ∈ C y consideremos la función exponencial f(t) = eωt. Se verifica entonces para todo z ∈ C tal que Rez > Re ωL[f](z) =Z +∞0e−zteωtdt =Z +∞0e−(z−ω)tdt= limx→+∞Z x0e−(z−ω)tdt = limx→+∞μ1z − ω −e−(z−ω)xz − ω¶=1z − ω.

En particular, si ω = 0 se verifica que f(t) = 1, con lo que nuevamenteL[ha](z) =1z para todo z ∈ C tal que Rez > 0. • Potencias. Sea n un número natural y consideremos la función fn(t) = tn. Vamos ver que la Transformada de Laplace de fn viene dada por la expresió L[fn](z) =n!zn+1 para todo z ∈ C tal que Rez > 0.7

Linealidad

Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones. Teorema 2 Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica que L[af + bg](z) = aL[f](z) + bL[g](z). La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos L[af + bg](z) = Z +∞ 0 e−zt(af(t) + bg(t))dt = lim x→+∞Z x0e−zt(af(t) + bg(t))dt= a limx→+∞Z x0e−ztf(t)dt + b lim x→+∞ Z x0e−ztg(t)dt = aL[f](z) + bL[g](z), lo que concluye la prueba. A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos. • Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = sin(ωt) = eiωt − e−iωt 2i. Entonces L[f](z) =12i¡ L[eitω](z) − L[e−itω](z) ¢=12iμ1z − iω −1z + iω¶=ωz2 + ω2

siempre que Rez > 0. • Función coseno. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = cos(ωt) = eiωt + e−iωt 2. De forma análoga a la anterior se obtiene que L[f](z) =z z2 + ω2 siempre que Re z > 0.10

Transformada de Laplace • Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = sinh(ωt) =eωt − e−ωt2.Entonces L[f](z) =12¡ L[eωt](z) − L[e−ωt](z)¢=12μ1z − ω −1z + ω¶=ωz2 − ω2 si Re z > |ω|. • Función coseno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = cosh(ωt) =eωt + e−ωt2.De forma análoga a la anterior se obtiene que L[f](z) =z z2 − ω2